Exemple d'article Typst à plusieurs auteurs : source et rendu

Ce que contient l'exemple

« Transport optimal et interpolation de formes » : Claire Martin, Hugo Bernard.

• Réglages de page et de texte par #set, en français
• Équations numérotées et renvoi par étiquette (@kantorovich)
• Un énoncé de théorème, un tableau table
• Références en fin d'article

Le source

Le fichier main.typ du projet, tel qu'il s'ouvre dans la démo.

#set text(lang: "fr", size: 11pt)
#set page(margin: 2.5cm)
#set heading(numbering: "1.")
#set math.equation(numbering: "(1)")
#set par(justify: true)

#align(center)[
  #text(size: 17pt)[Transport optimal et interpolation de formes]

  Claire Martin #h(2em) Hugo Bernard
]

#pad(x: 2em)[
  *Résumé.* Nous proposons une méthode d'interpolation entre deux formes fondée
  sur le transport optimal. Elle reste stable lorsque les topologies diffèrent,
  et son coût de calcul croît linéairement avec le nombre de points.
]

= Introduction
Comparer deux formes revient souvent à mesurer l'effort nécessaire pour
déplacer l'une sur l'autre. Le transport optimal donne à cette idée un cadre
précis : on cherche l'application qui déplace la masse au moindre coût.

Les méthodes classiques d'interpolation, fondées sur une correspondance point
à point, échouent dès que les formes n'ont pas la même topologie. Le transport
optimal, lui, ne suppose aucune correspondance : il la calcule.

= Formulation
Soient $mu$ et $nu$ deux mesures de probabilité sur $RR^d$. Le problème de
Monge cherche une application $T$ qui pousse $mu$ sur $nu$ :
$ min_(T_\# mu = nu) integral_(RR^d) norm(x - T(x))^2 dif mu(x). $
Sa relaxation, due à Kantorovich, porte sur les couplages $pi$ de marges $mu$
et $nu$ :
$ W_2^2(mu, nu) = min_(pi in Pi(mu, nu)) integral norm(x - y)^2 dif pi(x, y). $ <kantorovich>

*Théorème (Brenier).* _Si $mu$ est absolument continue, le problème
@kantorovich admet une unique solution, portée par le graphe de
$T = nabla phi$, où $phi$ est une fonction convexe._

L'interpolation de McCann relie alors continûment les deux formes :
$ mu_t = ((1 - t) "Id" + t T)_\# mu, quad t in [0, 1]. $

= Calcul
Nous régularisons le problème par l'entropie, ce qui conduit à l'algorithme de
Sinkhorn. Avec $K = e^(-C \/ epsilon)$, les itérations s'écrivent
$ a^((k+1)) = mu / (K b^((k))), quad b^((k+1)) = nu / (K^top a^((k+1))), $
et le couplage s'obtient par $pi = "diag"(a) K "diag"(b)$. Chaque itération ne
demande que des produits matrice-vecteur.

= Résultats
Sur l'ensemble de nos exemples, la méthode préserve les détails fins tout en
évitant les artefacts de repliement observés avec les approches classiques.

#align(center, table(
  columns: 4,
  align: (left, center, center, center),
  stroke: none,
  table.hline(),
  [Méthode], [Points], [Temps (s)], [Erreur],
  table.hline(),
  [Correspondance directe], [$10^4$], [0,8], [0,112],
  [Sinkhorn (ours)], [$10^4$], [1,3], [0,031],
  [Sinkhorn (ours)], [$10^5$], [12,9], [0,029],
  table.hline(),
))

= Conclusion
Le transport optimal fournit une interpolation naturelle entre formes de
topologies différentes. Nous étudierons ensuite le cas de formes animées.

#heading(numbering: none)[Références]
C. Villani, _Optimal Transport: Old and New_, Springer, 2009.

M. Cuturi, Sinkhorn Distances, _NeurIPS_, 2013.