Exemple d'article LaTeX à plusieurs auteurs : source et rendu

Ce que contient l'exemple

« Transport optimal et interpolation de formes » : Claire Martin, Hugo Bernard.

• Classe article, babel en français, amsmath et amsthm
• Équations numérotées, align, renvoi par \eqref
• Un théorème (\newtheorem), un tableau tabular
• Bibliographie avec thebibliography

Le source

Le fichier main.tex du projet, tel qu'il s'ouvre dans la démo.

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\newtheorem{theorem}{Théorème}

\title{Transport optimal et interpolation de formes}
\author{Claire Martin \and Hugo Bernard}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\begin{abstract}
Nous proposons une méthode d'interpolation entre deux formes fondée sur le
transport optimal. Elle reste stable lorsque les topologies diffèrent, et son
coût de calcul croît linéairement avec le nombre de points.
\end{abstract}

\section{Introduction}
Comparer deux formes revient souvent à mesurer l'effort nécessaire pour
déplacer l'une sur l'autre. Le transport optimal donne à cette idée un cadre
précis : on cherche l'application qui déplace la masse au moindre coût.

Les méthodes classiques d'interpolation, fondées sur une correspondance point
à point, échouent dès que les formes n'ont pas la même topologie. Le transport
optimal, lui, ne suppose aucune correspondance : il la calcule.

\section{Formulation}
Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures de probabilité sur $\mathbb{R}^d$. Le
problème de Monge cherche une application $T$ qui pousse $\mu$ sur $\nu$ :
\begin{equation}
  \min_{T_\# \mu = \nu} \int_{\mathbb{R}^d} \|x - T(x)\|^2 \, d\mu(x).
\end{equation}
Sa relaxation, due à Kantorovich, porte sur les couplages $\pi$ de marges
$\mu$ et $\nu$ :
\begin{equation}
  W_2^2(\mu,\nu) = \min_{\pi \in \Pi(\mu,\nu)} \int \|x-y\|^2 \, d\pi(x,y).
  \label{eq:kantorovich}
\end{equation}

\begin{theorem}[Brenier]
Si $\mu$ est absolument continue, le problème~\eqref{eq:kantorovich} admet une
unique solution, portée par le graphe de $T = \nabla \varphi$, où $\varphi$
est une fonction convexe.
\end{theorem}

L'interpolation de McCann relie alors continûment les deux formes :
\begin{equation}
  \mu_t = \big((1-t)\,\mathrm{Id} + t\,T\big)_\# \mu, \qquad t \in [0,1].
\end{equation}

\section{Calcul}
Nous régularisons le problème par l'entropie, ce qui conduit à l'algorithme de
Sinkhorn. Avec $K = e^{-C/\varepsilon}$, les itérations s'écrivent
\begin{align}
  a^{(k+1)} &= \frac{\mu}{K\, b^{(k)}}, &
  b^{(k+1)} &= \frac{\nu}{K^\top a^{(k+1)}},
\end{align}
et le couplage s'obtient par $\pi = \operatorname{diag}(a)\, K \operatorname{diag}(b)$.
Chaque itération ne demande que des produits matrice-vecteur.

\section{Résultats}
Sur l'ensemble de nos exemples, la méthode préserve les détails fins tout en
évitant les artefacts de repliement observés avec les approches classiques.

\begin{center}
\begin{tabular}{lccc}
  \hline
  Méthode & Points & Temps (s) & Erreur \\
  \hline
  Correspondance directe & $10^4$ & 0{,}8 & 0{,}112 \\
  Sinkhorn (ours) & $10^4$ & 1{,}3 & 0{,}031 \\
  Sinkhorn (ours) & $10^5$ & 12{,}9 & 0{,}029 \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}

\section{Conclusion}
Le transport optimal fournit une interpolation naturelle entre formes de
topologies différentes. Nous étudierons ensuite le cas de formes animées.

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{villani} C.~Villani, \emph{Optimal Transport: Old and New}, Springer, 2009.
\bibitem{cuturi} M.~Cuturi, Sinkhorn Distances, \emph{NeurIPS}, 2013.
\end{thebibliography}
\end{document}